50 mathématiciens par énnoncés de théorèmes

Pour tout entier 𝑛 supérieur ou égal à 5, il n'existe pas de formule générale exprimant 𝑝𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑢𝑥 les racines d'un polynôme quelconque de degré 𝑛.

Si une série entière ∑𝑎ₙ𝑧ⁿ converge en un point 𝑧₀, alors la convergence est uniforme sur [0, 𝑧₀] et la somme de la série y est donc continue.

Soit 𝑟>0 et (𝑎ₙ) une suite numérique, si la suite (|𝑎ₙ|𝑟ⁿ)ₙ est bornée alors pour tout 𝑧∈[0,𝑟[, la série ∑𝑎ₙ𝑧ⁿ converge absolument

Dans un triangle quelconque, si on note 𝑎, 𝑏 et 𝑐 les longueurs des côtés et θ l'angle opposé au côté de longueur 𝑐, on a 𝑎² + 𝑏² - 2𝑎𝑏cos(θ) = 𝑐²

Tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. Ainsi tout polynôme complexe est scindé

Soit 𝐺 un groupe de transformations d'un ensemble 𝐸. Deux parties 𝐴 et 𝐵 de 𝐸 sont dites équidécomposables (suivant 𝐺) s’il existe une partition finie de 𝐴, (𝐴₁ … 𝐴ₙ), et une partition finie de 𝐵 de même taille, (𝐵₁ … Bₙ), telles que : ∀𝑘∈⟦1,𝑛⟧, ∃𝑔ₖ∈𝐺, 𝑔ₖ(𝐴ₖ) = 𝐵ₖ On peut vulgariser ce théorème par «On peut découper une boule en un nombre fini de morceaux et les recoller afin de retrouver deux répliques exactes de la boule initiale»

Si 𝐴 et 𝐵 sont des évènements d'un espace probabilisé muni de la probabilisé ℙ, tel que ℙ(𝐵)≠0, on a ℙ(𝐴 | 𝐵) = ℙ(𝐵 | 𝐴) ℙ(𝐴) / ℙ(𝐵)

Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs, on note 𝑑 le PGCD de 𝑎 et de 𝑏, Il existe une solution (𝑥,𝑦)∈ℤ² à l'équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = d

Soient 𝑎 et 𝑏 deux entiers relatifs, 𝑎 et 𝑏 sont premiers entre-eux si et seulement s'il existe (𝑥,𝑦)∈ℤ² tel que 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 1

Soit 𝑋 une variable aléatoire numérique sur un espace probabilisé muni de la probabilisé ℙ, dont on note 𝔼[𝑋] et 𝕍[𝑋] son espérance et sa variance. Soit ε>0, on a ℙ(|𝑋 - 𝔼[𝑋]| ≥ ε) ≤ 𝕍[𝑋] / ε²

De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

Pour tout ensemble 𝐸, il n'existe aucune bijection entre 𝐸 et 𝒫(𝐸).

Soit (𝐸, ⟨|⟩) un espace préhilbertien réel ou complexe, muni de la norme ║║ associée au produit scalaire. Alors, pour tout vecteurs 𝑥 et 𝑦 de 𝐸, │⟨𝑥|𝑦⟩│ ≤ ║𝑥║ ║𝑦║

Tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif quelconque annule son propre polynôme caractéristique. Il peu s'écrire, pour un endomorphisme 𝑢, χᵤ(𝑢) = 𝑂

Soit (𝑎ₙ) une suite de nombres réels ou complexes qui converge vers 𝓁. La suite de terme général (𝑎₁ + … + 𝑎ₙ)/𝑛 converge vers 𝓁

Si 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont des points d'un espace, 𝐴⃗𝐵 + 𝐵⃗𝐶 = 𝐴⃗𝐶

Soient 𝑏 et 𝑐 deux entiers et 𝑝 un nombre premier. 𝑝 divise 𝑏𝑐 ⇒ 𝑝 divise 𝑏 ou 𝑐

Pour tout 𝑛∈ℕ* et tout 𝑎∈ℤ premier avec 𝑛, 𝑎ᵠ⁽ⁿ⁾ ≡ 1 [𝑛]

Dans un graphe planaire, si on note 𝑠 le nombre de sommets, 𝑎 le nombre d'arêtes, 𝑓 le nombre de zones délimitées, on a 𝑠 - 𝑎 + 𝑓 = 2

Pour tout entier 𝑛 strictement supérieur à 2, il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que 𝑥ⁿ + 𝑦ⁿ = 𝑧ⁿ

Tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. Ainsi tout polynôme complexe est scindé

Cette mathématicienne est malheureusement la seule femme de ce classement 😢 Soit 𝑝 et θ deux nombre premiers tels que deux classes modulo θ consécutives et non nulles ne peuvent être simultanément des puissances 𝑝-ièmes et 𝑝 lui-même (modulo θ) n'est pas une puissance 𝑝-ième. Si 3 entiers entiers 𝑥,𝑦,𝑧 vérifient 𝑥ᵖ + 𝑦ᵖ = 𝑧ᵖ, alors au moins l'un des trois est divisible par 𝑝

Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de "formaliser l'arithmétique", on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni démontré ni réfuté dans cette théorie. On peut vulgariser ce théorème par «Il existera toujours des propriétés indécidables»

Soient 𝐹 et 𝐺 deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel 𝐸. On a dim(𝐹+𝐺) = dim(𝐹) + dim(𝐺) - dim(𝐹⋂𝐺)

Soit 𝐴=(𝑎ᵢⱼ) ∈ ℳₙ(ℂ). Si ∀𝑖∈⟦1,𝑛⟧, |𝑎ᵢᵢ| > ∑(𝑗≠𝑖) |𝑎ᵢⱼ| Alors 𝐴 est inversible.

Tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif quelconque annule son propre polynôme caractéristique. Il peu s'écrire, pour un endomorphisme 𝑢, χᵤ(𝑢) = 𝑂

Soit 𝑋 une variable aléatoire sur un espace probabilisé sur lequel l'espérance et la variance sont notées 𝔼 et 𝕍. 𝕍[𝑋] = 𝔼[𝑋²] - 𝐸[𝑋]²

Toute fonction continue sur un compact y est uniformément continue.

Soient 𝑓 une fonction convexe, (𝑥₁ … 𝑥ₙ) un 𝑛-uplet de réels appartenant à l'intervalle de définition de 𝑓 et (λ₁ … λₙ) un 𝑛-uplet de réels positifs tels que ∑ λᵢ = 1, 𝑓( ∑ λᵢ𝑥ᵢ ) ≤ ∑ λᵢ 𝑓(𝑥ᵢ)

Le complémentaire d'un lacet simple 𝑆 dans un plan affine réel est formé d'exactement deux composantes connexes distinctes, l'une bornée et l'autre non. Toutes deux ont pour frontière le lacet simple 𝑆. On peut vulgariser ce théorème par «Une courbe fermée sépare le plan entre un intérieur et un extérieur»

Sur un alphabet fini, les langages rationnels sont exactement les langages reconnaissables par des automates.

Soit 𝑋 une variable aléatoire sur un espace probabilisé sur lequel l'espérance et la variance sont notées 𝔼 et 𝕍. 𝕍[𝑋] = 𝔼[𝑋²] - 𝐸[𝑋]²

Pour tout groupe fini 𝐺 et tout sous-groupe 𝐻 de 𝐺, l'ordre de 𝐻 divise celui de 𝐺.

Soit 𝑛∈ℕ. Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions 𝑛-fois dérivables, on note ⁽ᵏ⁾ la dérivée 𝑘-ième d'une fonction et 𝐂(𝑛,𝑘) le coefficient binomial "𝑘 parmis 𝑛" (𝑓𝑔)⁽ⁿ⁾ = ∑ 𝐂(𝑛,𝑘) 𝑓⁽ᵏ⁾ 𝑔⁽ⁿ⁻ᵏ⁾

Soit 𝑓 une fonction intégrable sur un intervalle 𝐼 de ℝ, à valeurs réelles ou complexes, ∫ 𝑓(𝑡) 𝑒⁻ⁱˢᵗ d𝑡 converge vers 0 lorsque 𝑠 tend vers ±∞

Soit 𝑋 une variable aléatoire presque sûrement positive sur un espace probabilisé muni de la probabilisé ℙ, dont on note 𝔼[𝑋] son espérance. Pour 𝑎>0, on a ℙ(𝑋 ≥ 𝑎) ≤ 𝔼[𝑋] / 𝑎

Pour tout 𝑥∈ℝ, (cos(𝑥) + 𝑖 sin(𝑥))ⁿ = cos(𝑛𝑥) + 𝑖 sin(𝑛𝑥)

Si 𝐴 et 𝐵 sont des prédicats, ¬(𝐴∨𝐵) = (¬𝐴) ∧ (¬𝐵) ¬(𝐴∧𝐵) = (¬𝐴) ∨ (¬𝐵)

Soit 𝑎 et 𝑏 deux éléments d'un anneau qui commutent et 𝑛∈ℕ, on note 𝐂(𝑛,𝑘) le coefficient binomial "𝑘 parmis 𝑛". (𝑎+𝑏)ⁿ = ∑ 𝐂(𝑛,𝑘) 𝑎ᵏ 𝑏ⁿ⁻ᵏ

Soit 𝑛 et 𝑘 deux entiers tels que 0 < 𝑘 < 𝑛. On note 𝐂(𝑛,𝑘) le coefficient binomial "𝑘 parmis 𝑛". 𝐂(𝑛, 𝑘) = 𝐂(𝑛-1, 𝑘-1) + 𝐂(𝑛-1, 𝑘)

Toute 3-variété compacte sans bord et simplement connexe est-elle homéomorphe à la 3-sphère ?

Toute 3-variété compacte sans bord et simplement connexe est homéomorphe à la 3-sphère.

Dans un triangle est rectangle, si on note 𝑐 la longueur de l’hypoténuse et 𝑎 et 𝑏 les longueurs des deux autres côtés, on a 𝑎² + 𝑏² = 𝑐²

Soit 𝑓 une fonction intégrable sur un intervalle 𝐼 de ℝ, à valeurs réelles ou complexes, ∫ 𝑓(𝑡) 𝑒⁻ⁱˢᵗ d𝑡 converge vers 0 lorsque 𝑠 tend vers ±∞

Soir 𝐸 un espace vectoriel normé, on note ℬᶠ(0,1) sa boule unité fermée de 𝐸. ℬᶠ(0,1) est compacte ⇔ 𝐸 est de dimension finie

Soit (𝐸, ⟨|⟩) un espace préhilbertien réel ou complexe, muni de la norme ║║ associée au produit scalaire. Alors, pour tout vecteurs 𝑥 et 𝑦 de 𝐸, │⟨𝑥|𝑦⟩│ ≤ ║𝑥║ ║𝑦║

Soit 𝑀 une variété différentielle à bord, orientée de dimension 𝑛, et ω une (𝑛-1)-forme différentielle à support compact sur 𝑀 de classe 𝒞¹. Alors, on a la somme intégrale de dérivée extérieure de ω sur 𝑀 qui est égale à la somme intégrale de de la restriction de ω à ∂𝑀 sur ∂𝑀, où ∂𝑀 est le bord de 𝑀 muni de l'orientation induite. Autrement dit ∫_𝑀 ∂ω = ∫_∂𝑀 ω

Soit 𝐼 un intervalle de ℝ, 𝑎∈𝐼, 𝐸 un espace vectoriel normé réel, 𝑓 une fonction de 𝐼 dans 𝐸 dérivable jusqu'à un certain rang 𝑛≥1. Pour 𝑥 au voisinage de 𝑎 𝑓(𝑎) = ∑ 𝑓⁽ᵏ⁾(𝑎) (𝑥-𝑎)ᵏ / 𝑘! + o((𝑥-𝑎)ⁿ)

Soit 𝐺 un groupe de transformations d'un ensemble 𝐸. Deux parties 𝐴 et 𝐵 de 𝐸 sont dites équidécomposables (suivant 𝐺) s’il existe une partition finie de 𝐴, (𝐴₁ … 𝐴ₙ), et une partition finie de 𝐵 de même taille, (𝐵₁ … Bₙ), telles que : ∀𝑘∈⟦1,𝑛⟧, ∃𝑔ₖ∈𝐺, 𝑔ₖ(𝐴ₖ) = 𝐵ₖ On peut vulgariser ce théorème par «On peut découper une boule en un nombre fini de morceaux et les recoller afin de retrouver deux répliques exactes de la boule initiale»

Soit 𝑋 une variable aléatoire numérique sur un espace probabilisé muni de la probabilisé ℙ, dont on note 𝔼[𝑋] et 𝕍[𝑋] son espérance et sa variance. Soit ε>0, on a ℙ(|𝑋 - 𝔼[𝑋]| ≥ ε) ≤ 𝕍[𝑋] / ε²

Une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle définit, avec les droites des deux autres côtés, un nouveau triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du premier.

De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

Pour tout entier 𝑛 strictement supérieur à 2, il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que 𝑥ⁿ + 𝑦ⁿ = 𝑧ⁿ

Soit 𝐼 un intervalle de ℝ, 𝑎∈𝐼, 𝐸 un espace vectoriel normé réel, 𝑓 une fonction de 𝐼 dans 𝐸 dérivable jusqu'à un certain rang 𝑛≥1. Pour 𝑥 au voisinage de 𝑎 𝑓(𝑎) = ∑ 𝑓⁽ᵏ⁾(𝑎) (𝑥-𝑎)ᵏ / 𝑘! + o((𝑥-𝑎)ⁿ)