en realidad si se dice así y al mismo tiempo no, ya que si se dice "primer nombre" pero en plural, Ej: ¿Cuál es tu primer nombre?|Anote su primer nombre y sus apellidos acá, por ejemplo.
De hecho en España, aunque se entiende, jamás se diría. "Escriba su nombre y apellidos". Si tu nombre es compuesto, escribes los dos que tengas y punto.