Terminologie mathématique #1 - Théorie des groupes

Retrouvez à partir de leurs définitions un large éventail d'objets ou de propriétés élémentaires de la théorie des groupes. On commence par se donner un groupe quelconque G et un sous-groupe H de G.

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Dernière actualisation : 14 novembre 2025

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Définition

Terme

Groupe dont tous les éléments commutent entre eux

Groupe abélien

Sous-groupe de G commutant avec tous ses éléments

Centre de G, Z(G)

Sous-groupe de G commutant avec tout élément de H.

Centralisateur de H, C(H)

Groupe généré par un unique élément

Groupe monogène

Groupe fini généré par un unique élément

Groupe cyclique

Groupe des matrices (n,n) inversibles sur un corps K

Groupe général linéaire, GLn(K)

Groupe des matrices (n,n) de déterminant 1 sur un corps K

Groupe spécial linéaire, SLn(K)

Groupe de symétrie d'un polygone régulier

Groupe diédral

Groupe de bijections d'un ensemble fini

Groupe symétrique

Morphisme qui à un élément du groupe précédent associe son nombre d'inversions

Signature

Noyau de ce morphisme

Groupe alterné

Sous-groupe stable par les conjugaisons

Sous-groupe normal

Groupe qui ne possède pas de tels sous-groupes non triviaux

Groupe simple

Sous-groupe stable par tout automorphisme

Sous-groupe caractéristique

Automorphisme donné par une conjugaison

Automorphisme intérieur

Sous-groupe maximal pour l'inclusion parmi les sous-groupes de G dont l'ordre est une puissance de p premier

Sous-groupe de Sylow

Sous-groupe des éléments appartenant à tout sous-groupe maximal

Sous-groupe de Frattini

Plus grand sous-groupe de G dans lequel H est stabilisé par les conjugaisons

Normalisateur de H, N(H)

Sous-groupe de G généré par ses commutateurs

Groupe dérivé de G, D(G)

Suite de groupes obtenue en itérant le sous-groupe précédent

Suite dérivée de G, (D^k(G))

Groupe pour lequel la suite précédente est stationnaire à {e}

Groupe résoluble

Groupe qui possède un sous-groupe d'indice fini vérifiant une propriété P

Groupe virtuellement P

Groupe composé des mots réduits à partir d'un ensemble générateur S

Groupe libre

Groupe finiment engendré dont les relations sont engendrées par un nombre fini d'entre elles

Groupe de présentation finie

Graphe dont les sommets sont les éléments d'un groupe finiment engendré, où on les relie si on passe de l'un à l'autre par un générateur

Graphe de Cayley

Groupe dont le graphe précédent est à courbure négative

Groupe hyperbolique

Groupe doté d'une structure de variété algébrique compatible avec sa loi

Groupe algébrique

Groupe doté d'une structure de variété différentiable compatible avec sa loi

Groupe de Lie

Groupe des classes d'homotopie des lacets d'un espace X

Groupe fondamental de X

Groupe des automorphismes d'une extension de corps

Groupe de Galois

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